108課綱數學001 ＜實數I＞

第一章主要內容是「實數」

實數包含了正整數、整數、有理數、無理數，內含的邏輯思維是集合，使用的邏輯技術是分類。

在課本的第一頁中，
第3行「數學上，凡是可以寫成分數的形式的數都稱為有理數。」
第4~5行「有理數的定義/可以表示成q/p的數，稱為有理數...」

(1) 對一個第一次自己讀課本的學生來說，有沒有針對這兩行字產生思考是很重要的。...讓思考變得可見 invisible to visible。 (2) 為什麼不叫做「分數」就好，要叫做「有理數」 (3) 什麼樣的數可以寫成分數的形式? (4) 可以寫成分數形式的數可以分成不同的類別嗎?(這裡不必特別強調類別，但是在教學上使用樹狀圖能讓學生自然而然的產生分類的概念) (5)「分數」有多少種? 真分數、假分數、帶分數...?這些分數如何變化而產生出數學上很重要的關係「相等」。

經過一小段討論
(6) 正整數、整數都是分數的一種，小數呢?
(7) 那一個無窮循環小數最重要?為什麼?這個重要性與「相等」的關聯在那裡?
(8) 循環小數化成分數有一致性的規則嗎?

經過一段討論

(9) 對有理數的說明的相反思考是什麼? 即「凡是可以寫成分數的形式的數都稱為有理數。」的相反思考是什麼?
(10) 數學上的分類最簡單的是「有理數」與「不是有理數」嗎? 舉例來說，我們會說「男人VS非男人」還是「男人、女人、男女人、女男人、不是人...」
(11)透過樹狀圖，有理數與無理數合在一起叫「實數」，為什麼要叫「實數」?
(12) 實數在那?
(13) 有不是實數的數嗎?
(14) 如果把實數與非實數合在一起，可以怎麼稱呼?
(15) 這麼多種數，正整數、整數、有理數、無理數、實數、複合的數，稱呼起來還好，書寫起來實在太麻煩了，有沒有什麼記號可以取代這些稱呼?
(16) 請使用英文這個語言來思考（補充說明），而非中文，因為中文是以繁御簡，而英文是以簡御繁，愈繁複的事用簡單的記號來表示是一種很強的能力，有這種能力的人我們稱為專家，能請各位專家試著把這些稱呼化為記號並記錄彼此的關聯嗎?

以上一節課

PS. 第二頁第3~4行「有理數的封閉性/任意兩個有理數加、減、乘、除後的結果，仍為有理數」，文字中沒有「封閉」這兩個字，「封閉性的稱呼從何而來?」有理數與無理數的四則運算為什麼不一起規範?

下次再談了~

數學素養：

1. 理解數學發展的脈絡與能有效的解釋並內化在自己的思維中
2. 能用英文來學習數學，理解溝通時如何簡化所需要使用的文字與符號(溝通所需要的是最適切的語言)

註:

nature number (自然數=手指能數翻譯正整數)
integer/integers (整數)
ratio (比) － rational number (可比的數翻譯有理數)
ir-rational number (不是有理數) － irrational number (無理數)
real number (實數)
imaginary is better than unreal － imaginary number (虛數)
real + imaginary － complex (複合) － complex number (複數)

提問: N Z Q R C 為何不是 N I R R C ?
(數學的教學演進歷程不一定等於數學發展的歷史進程)

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補充說明（感謝麗山高中洪明譽老師）

我想說的是用英文這個語言來思維如何陳述一件事時，以終為始（先說結論）的習慣與中文有很大的不同。在說明什麼數是有理數時，可以把所有可能的形式都先介紹出來，再下結論。也可以如課本般，先給出定義再來解釋和說明。

如果我們不是學數學的人，在學習時兩者皆各有優點，但要書寫成供他人閱讀時，似乎從來沒有分析過中英文在書寫時的差異。學生第一次閱讀數學課本，常有無法融入的感覺，不是不會閱讀方法也不是不懂閱讀策略，而是未曾經歷過先結論再解釋的書寫方式，因此閱讀時一直撞牆，這與閱讀數學試題又有不同，因此有了排斥感。要培養學生自行閱讀數學課本（雖然是用中文編寫），能先理解英文語境的書寫方式，我想能減少排斥感。關於無理數數感是另一類的問題，有理數的數感是能化成分數，而無理數的數感似乎沒有感覺，在能使用計算機後，期待能有改善。翰林版課本中影印紙張的學習活動，是一個能讓學生有無理數數感的切入方式。